Вычислить предел функции Найти производную функции Вычислить повторный интеграл Вычислить площадь фигуры Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл Вычислить двойной интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Практикум по решению задач

Дифференцируемые функции

1. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

2. Найти производную функции .

3. Найти производную функции

4. Найти производную функции

5. Найти производную функции

6. Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex; ;

7. Найти предел .

; ; .

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

8. Найти предел .

; ;

; ;

 

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычиления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Найти предел .

 — опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;  — применяем правило Лопиталя еще раз.

;

Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

10. Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

11. Найти предел .

— получили неопределенность. Применяем правило еще раз. ;

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции. К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

Практикум по решению задач по математике является базой практических знаний и умений, на основе которых будут раскрываться методические аспекты преподавания конкретных тем школьного курса математики. Поэтому основное внимание в программе курса отведено тем разделам, которые тесно связаны со школьной математикой.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры