Вычислить предел функции Найти производную функции Вычислить повторный интеграл Вычислить площадь фигуры Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл Вычислить двойной интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Пример 4. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x.

Решение. Построим область интегрирования D (рис.5).

Рис. 5.

Первое решение примера 4. По формуле (4) получаем

 или

Второе решение примера 4. Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (5), то

Теорема 2 (о замене переменных в двойном интеграле).

  Пусть выполняются условия:

 1) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D1 и наоборот;

 2) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D1;

  3) функция z=f(x,y) определена и интегрируема в области D.

Тогда справедлива формула:

 , (6)

где

 

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:

 ,

для которых якобиан равен  и формула (6) примет вид:

  (7)

Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:  по области D, заданной ограничениями .

Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2, ВАС = 120°.

Задача 3 (МАИ). В треугольнике ABC биссектриса, проведенная из вершины А, имеет длину 2, и АВ= 2АС. На стороне АВ взята точка М, а на стороне АС — точка N так, что BM=AN. Найдите наименьшее возможное расстояние от середины отрезка MN до вершины А. 

К кривой  в точках с абсциссами  и проведены касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Oy, будет наименьшим?

  В треугольной пирамиде SABC все ребра имеют одинаковую длину, равную l . На ребре SA взята точка М так, что SM =, на ребре SB взята точка N, а на плоскости ABC взята точка Р. Найдите наименьшую величину суммы длин отрезков MN и NP. 

Задача.  Дана система линейных уравнений

Методом исключения неизвестных найти общее и базисное решение системы линейных уравнений 

Рекомендуемая литература 1. Вишенский, В. О. Задачи по математике / В.О. Вишенский, М.О. Перестюк, А.М. Самойленко. - Киев: Высшая школа, 2005 - 264 с. 2. Габович, И. Г. Сколько корней имеет уравнение? / И.Г. Габович, П.И. Горнштейн // Квант. - 2000 - №3 - с. 43 - 46. 3. Говоров, В. М. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями): Учеб. пособие / В.М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова. - 2-е издание - М.: Наука, 2010. - 384 с.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры