Вычислить предел функции Найти производную функции Вычислить повторный интеграл Вычислить площадь фигуры Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл Вычислить двойной интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Вычисление объёмов тел вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисс  и прямыми , вычисляется по формуле

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординат  и прямыми , вычисляется по формуле

.

Решение типовых задач по математике Векторы Конспекты лекций, лабораторные и задачи курсовых работ

Пример 4.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

  - ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. ;

  - прямая, параллельная оси OY;

  - ось OX.

Рис. 11.

При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда  При этом , т.е.

Тогда (ед3.)

Пример 4.2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

  - гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных углах;

  - прямая, параллельная оси OX;

  - прямая, параллельная оси OX;

  - ось OY.

 

 Рис. 12.

При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.

Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда .

При этом , т.е. .

Тогда

(ед3.)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Пример Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Площадь фигуры заданной в параметрической форме. Найти площадь области ограниченной линией – графиком функции заданной в параметрической форме : x=a cos(t) , y=b sin(t), 0 £ t £ π/2 ( первая четверть эллипса) .Подставляем данные в формулу и результат сравниваем с ранее рассмотренной задачей.

Формула вычисления объема фигуры вращения, образованной вращением линии вокруг координатной оси.

Темы лекционных занятий 1. Уравнения. Основные методы решения уравнений. 2. Обобщенные методы решения уравнений. 3. Неравенства. Основные методы решения неравенств. 4. Неравенства повышенной трудности. 5. Системы и совокупности уравнений и неравенств. 6. Тригонометрические функции и их свойства. 7. Тригонометрические уравнения и неравенства. 8. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры