Вычислить предел функции Найти производную функции Вычислить повторный интеграл Вычислить площадь фигуры Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл Вычислить двойной интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Ряды

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:

А)  Б)   В)

Решение.

1. К ряду применим радикальный признак Коши: если , то положительный ряд  сходится при  и расходится, когда

Так как , то ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд  Проверим необходимое условие сходимости: если ряд   сходится, то .

Поскольку , необходимое условие не выполняется, значит, ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда  можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел   то положительные ряды  и одинаковы в смысле сходимости.

Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд

, сходящийся при  и расходящийся для  При  получим сходящийся ряд .

Применим теорему сравнения

 

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд  также сходится.

Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:

1)   2) 

Решение.

1. Рассмотрим ряд  .

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

  сходится при условии:

 1)

 2) .

Так как   и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если  то положительный ряд  сходится при  и расходится, когда

Поскольку

,

ряд  сходится, следовательно, ряд  сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд  .

Условия признака Лейбница выполняются:

1)  2)   Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин  Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд  сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится  (здесь   при  - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд  сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Задача. Найти область сходимости функционального ряда

Дифференциальные уравнения Задача Найти общее решение дифференциального уравнения .

Задача Среди перечисленных  дифференциальных уравнений найти  уравнения в полных дифференциалах

Задача. Указать вид частного решения дифференциального уравнения 

Темы лекционных занятий 1. Уравнения. Основные методы решения уравнений. 2. Обобщенные методы решения уравнений. 3. Неравенства. Основные методы решения неравенств. 4. Неравенства повышенной трудности. 5. Системы и совокупности уравнений и неравенств. 6. Тригонометрические функции и их свойства. 7. Тригонометрические уравнения и неравенства. 8. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры