Вычислить предел функции Найти производную функции Вычислить повторный интеграл Вычислить площадь фигуры Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл Вычислить двойной интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).

  – прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.

  – аналитическое выражение оси ох.

  – аналитическое выражение оси оу.

  Рис. 7.

Построенная фигура (рис.7) является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле

.

, , .

Тогда   (кв. ед.).

Пример 3.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии ограничивающие фигуру.

  – прямая; если , то ,

 если , то .

Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).

  – прямая, параллельная оси ох.

  – прямая, параллельная оси ох.

  – ось оу.

Задача 6. Вычислить .

Задача 11. Вычислить .

Задача 15. Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю   будет соответствовать сумма  множителю  - дробь .

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Основная систематизация рассматриваемых методов решения проведена не по конкретным примерам задач по виду функций, входящих в уравнение, неравенство или систему, а по особенностям математической деятельности, необходимой для решения задачи. Тем самым в рамках курса возможен большой охват материала.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры