Вычислить предел функции Найти производную функции Вычислить повторный интеграл Вычислить площадь фигуры Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл Вычислить двойной интеграл

Практикум по решению задач на вычисление пределов, интеграла

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.

Практикум по решению задач

1. Область S задана уравнениями границы: .

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми   (рис. 3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2; 1), B(2; 2).

а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую  и прямую . Поэтому область задается системой неравенств:

б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис. 4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает прямую OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L2 пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x=2. Итак,  и .#

2. Точки из области D удовлетворяют неравенству  (a>0) , т.е. . Изобразить данную область и записать как правильную.

Ñ  Преобразуя неравенство , получим . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы  следует  или . Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность и полуокружность OML:  (рис. 5),

.


 Рис. 5 Рис. 6

Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность  и полуокружность +  (рис. 6)), и   #

3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по «y», полагаем «x» постоянным½=

= . #

4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Ñ , и правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2 – y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых  и , то, где ,

. Итак, = =  =.#

5. Вычислить  по области D, ограниченной линиями  и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол  и  решаем уравнение  , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках . Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис. 8а), имеем . По формуле

а)

=

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис. 8б), то . По формуле

= =. #

Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Задача.  Дана система линейных уравнений Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.

Задача Методом исключения неизвестных найти общее и базисное решение системы линейных уравнений 

Основная систематизация рассматриваемых методов решения проведена не по конкретным примерам задач по виду функций, входящих в уравнение, неравенство или систему, а по особенностям математической деятельности, необходимой для решения задачи. Тем самым в рамках курса возможен большой охват материала.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры