Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл: Интегрируем по частям: Получаем Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:

Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится. Решить систему уравнений методом Гаусса

Найти предел .

;

.

 

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. .

Пример

При интегрировании использовали формулы и положив


Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  где Р(х) и Q(x)-многочлены.

Рациональная дробь  называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду:

  где

многочлен (целая часть при делении), а правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому 

Так как интеграл  вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.