Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Пример Показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1. Решение алгебраических и
трансцендентных уравнений

Решение. Рассмотрим соответствующую функцию и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

  Пример.

  Пример.

Определить, сходится или расходится ряд .

Определить, сходится или расходится ряд .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  где Р(х) и Q(x)-многочлены.

Рациональная дробь  называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду:

  где

многочлен (целая часть при делении), а правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому 

Так как интеграл  вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.