Классификация зубчатых передач http://mirkasflur.ru/ энергетических установок Принцип термотрансформации
Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du

. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Пример Вычислить .

Решение. Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

  Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Рассмотрим решение однородного дифференциального уравнения:

y² + py¢ +qy = 0. (5)

Дифференциальному уравнению (5) ставится в соответствие характеристическое уравнение:

  где l - переменная.

Если характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем l1¹l2, то общее решение уравнения (4) имеет вид:

Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности), то общее решение уравнения (4) имеет вид:

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , где a = - p/2, b =  то общее решение уравнения (4) имеет вид:


Геометрические приложения двойных интегралов