Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Несобственные интегралы

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Решение. Запишем очевидное неравенство для модулей: Легко показать, что интеграл сходится (смотрите также пример 1). Действительно, Следовательно, делаем вывод, что интеграл сходится по теореме сравнения 1. Тогда искомый интеграл также сходится (причем абсолютно) по теореме сравнения 3.

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Решение. В данном интеграле подынтегральная функция имеет разрыв при x = 2. Поэтому, рассмотрим следующих два несобственных интеграла: По определению получаем Найдем первый интеграл.

Поскольку этот интеграл расходится, то искомый интеграл также расходится.

Схема исследования графика функции Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.

Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

 

1.     

 

2.

3.


Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производные  Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство  при х®х0.

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Последнее слагаемое (т.е. остаточный член) в формуле Тейлора иногда записывают в виде:

  .

Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

В случае х0=0 формула Тейлора принимает вид:

, при х®0 и называется формулой Маклорена.

Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций: