Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится. Теоремы сравнения Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).
  1. Если сходится, то также сходится;
  2. Если расходится, то также расходится;
  3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися. Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Пример

(положим тогда

Пример

(положим тогда ) =

=

(используем формулу ) =

=

= Возвращаясь к старой переменной, использовали выражение:

Замечание. В примерах 12 и 13 использовали подстановку вида: и формулу (6.1). Подстановку выбирают так, чтобы правая часть формулы (6.1) приобрела более удобный для интегрирования вид.

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить интеграл .

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Вычислить периметр единичной окружности.

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Вычислить .

Вычислить .

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производные  Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство  при х®х0.

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Последнее слагаемое (т.е. остаточный член) в формуле Тейлора иногда записывают в виде:

  .

Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

В случае х0=0 формула Тейлора принимает вид:

, при х®0 и называется формулой Маклорена.

Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций: