Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Решение. Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде: Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем

Пример Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Решение. Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R. Используя параметрические уравнения окружности получаем Далее воспользуемся тригонометрической формулой Тогда криволинейный интеграл I1 равен Теперь вычислим двойной интеграл: В полярных координатах он становится равным Как видно, I1 = I2.

 

Пример

(положим тогда

) =

=

Пример

(положим тогда

) =

Замечание. Примеры, рассмотренные в п.4 можно было решить методом замены переменной, используя подстановку вида

Так, например, (положим тогда

) =

Вычислим используя подстановку

Имеем Тогда

.


Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производные  Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство  при х®х0.

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Последнее слагаемое (т.е. остаточный член) в формуле Тейлора иногда записывают в виде:

  .

Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

В случае х0=0 формула Тейлора принимает вид:

, при х®0 и называется формулой Маклорена.

Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций: