Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Решение. Площади заданной поверхности равна Переходя к полярным координатам, находим ответ:

Пример Найти площадь полусферы радиуса R.

Решение. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде где (рисунок 1). Вычислим дифференциальный элемент площади. Найдем векторное произведение данных векторов: Следовательно, элемент площади будет равен Отсюда вычисляем площадь полусферы:
Рис.1 Рис.2

Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

  Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора . 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .


Свойства дифференцируемых функций

Теоремы о среднем

Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;в], дифференцируема на интервале (а;в) и принимает на концах отрезка равные значения (т.е. f(a)=f(b)). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (а;в), для которой f¢(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и дифференцируема на интервале (а;в). Тогда на интервале (а;в) найдется такая точка с, что 

 f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a).

Теорема (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а;в] и дифференцируемы на интервале (а;в), причем g(x)¹0 для всех хÎ(а;в). Тогда найдется такая точка с на этом интервале, что

 

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

 

Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида [0×¥]. Для этого произведение f(x)g(x) следует записать в виде  (или ), получить неопределенность вида  или .

Если имеется неопределенность вида  или , при вычислении предела функции , то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0×¥]. При этом используется соотношение:

 .