Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора то площадь поверхности будет равна где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность. Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

  Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

 

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

 

Теперь представим наш интеграл в виде:

 

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Вычислить объем эллипсоида .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс

С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность

Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Свойства дифференцируемых функций

Теоремы о среднем

Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;в], дифференцируема на интервале (а;в) и принимает на концах отрезка равные значения (т.е. f(a)=f(b)). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (а;в), для которой f¢(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и дифференцируема на интервале (а;в). Тогда на интервале (а;в) найдется такая точка с, что 

 f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a).

Теорема (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а;в] и дифференцируемы на интервале (а;в), причем g(x)¹0 для всех хÎ(а;в). Тогда найдется такая точка с на этом интервале, что

 

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

 

Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида [0×¥]. Для этого произведение f(x)g(x) следует записать в виде  (или ), получить неопределенность вида  или .

Если имеется неопределенность вида  или , при вычислении предела функции , то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0×¥]. При этом используется соотношение:

 .