Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.

Решение. Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле Вычислим криволинейные интегралы Следовательно, объем тела равен

Пример Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10). Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах: Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x).

Рис.10 
Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R)

равен .

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при


Свойства дифференцируемых функций

Теоремы о среднем

Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;в], дифференцируема на интервале (а;в) и принимает на концах отрезка равные значения (т.е. f(a)=f(b)). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (а;в), для которой f¢(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и дифференцируема на интервале (а;в). Тогда на интервале (а;в) найдется такая точка с, что 

 f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a).

Теорема (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а;в] и дифференцируемы на интервале (а;в), причем g(x)¹0 для всех хÎ(а;в). Тогда найдется такая точка с на этом интервале, что

 

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

 

Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида [0×¥]. Для этого произведение f(x)g(x) следует записать в виде  (или ), получить неопределенность вида  или .

Если имеется неопределенность вида  или , при вычислении предела функции , то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0×¥]. При этом используется соотношение:

 .