Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R. Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
Рис.1 Рис.2
Объем тела Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен Площадь поверхности Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R. Площадь и объем в полярных координатах Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Рис.3
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

вычисляют, используя следующие тригонометрические формулы:

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически приращение Dу функции f(x) в точке х - есть приращение ординаты точки на кривой, а дифференциал dy функции в этой точке - приращение ординаты соответствующей на касательной.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

При достаточно малых значениях Dх приращение функции Dу»dy, т.е.

Чем меньше значение Dх, тем точнее эта формула.

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом)  функции y=f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции. Т.е. 

Дифференциалом n-го порядка  называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции, т.е


Геометрические приложения двойных интегралов