Двойные интегралы в прямоугольной области
Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник
. Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:
В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла. В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:
![]()
Пример Вычислить двойной интеграл
в области
.
Решение. Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен
![]()
К таким интегралам относится интеграл вида
, где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
1)
- интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))
2)
- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
3)
- интегральный логарифм
4)
- приводится к интегральному логарифму
5)
- интегральный синус
6)
- интегральный косинус
Пример Вычислить двойной интеграл
, заданный в области
.
Производные высших порядков
Производная от функции f¢(x)
называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной)
и обозначается
Аналогично определяются производная третьего
порядка (или производная), обозначаемая и т.д.
Производная n-го порядка обозначается
Дифференциал функции
Приращение
Dу дифференцируемой функции y=f(x) можно
представить в виде где f¢(x)
-производная функции f(x); Dx-приращение независимой переменной; a(Dх)-бесконечно малая величина.
Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
dx=Dx.
Поэтому дифференциал функции:
Геометрические приложения двойных интегралов |