Кратные интегралы примеры решения задач

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла. В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Пример Вычислить двойной интеграл в области .

Решение. Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен

  К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

  Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

  Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

  Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 

1)       - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

2)       - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

3)       - интегральный логарифм

4)       - приводится к интегральному логарифму

5)       - интегральный синус

6)       - интегральный косинус

Пример Вычислить двойной интеграл , заданный в области .

Вычислить интеграл , заданный в области .

Производные высших порядков

Производная от функции f¢(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается

Аналогично определяются производная третьего порядка (или производная), обозначаемая и т.д.

Производная n-го порядка обозначается

Дифференциал функции

Приращение Dу дифференцируемой функции y=f(x) можно представить в виде  где f¢(x) -производная функции f(x); Dx-приращение независимой переменной; a(Dх)-бесконечно малая величина.

Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

 dx=Dx.

Поэтому дифференциал функции: