Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2
Якобиан такого преобразования имеет вид Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2): Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы! Геометрический смысл производной Правила дифференцирования
Рис.3 Рис.4

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда, поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты.

Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой

Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций .

Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

 

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Основные правила дифференцирования

с-постоянная,  u(x) и v(x)-дифференцируемые функции:

с¢=0;  х¢=1; (uvw)¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢

(u ±v)¢=u¢±v¢ 

(u×v)¢=u¢v + uv¢ ;

(cu)¢=cu¢;

Пусть функция u = j(x) имеет производную в точке х0, а функция y=f(u) - в точке u0=j(x0). Тогда сложная функция y=f(j(x)) также имеет производную в точке х0, причем

y¢(x0)=y¢(u0)×u¢(x0).

Если y=f(x) - дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция обратная к данной х=j(у), также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

  y¢x ¹ 0.


Геометрические приложения двойных интегралов