Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)

! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример Найти производную функции .

Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

Пример Найти производную функции .

Решение. Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна . Тогда

Криволинейный интеграл 1-го рода

Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.

Тогда длина кривой выражается формулой .

Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть - длина кривой .

Диаметр d(T) определим как .

Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму , называемую интегральной.

Определить производную функции .

Продифференцировать .

Вычислить интеграл .

Основные методы интегрирования

а) метод непосредственного интегрирования:

данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

б) метод замены переменной:

пусть x=j(t) - функция дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

в) метод интегрирования по частям:

пусть u=u(x) и v(x) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.


Геометрические приложения двойных интегралов