Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz (рисунок 2).

Рис.2 Рис.3
Решение. Уравнение прямой AB в плоскости Oxy (рисунок 3) имеет вид: y = 2 − 2x. При этом переменная x изменяется в интервале 0 ≤ x ≤ 1, а переменная y − в интервале 0 ≤ y ≤ 2 − 2x. Составим теперь уравнение плоскости ABC в отрезках. Поскольку плоскость ABC отсекает отрезки 1, 2, 3, соответственно, на осях Ox, Oy и Oz, то ее уравнение имеет вид: В общем виде уравнение плоскости ABC записывается как Следовательно, пределы интегрирования по переменной z изменяются в промежутке от z = 0 до . Теперь можно вычислить объем заданного тетраэдра:

. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Геометрические приложения двойных интегралов

Рассмотрим решение однородного дифференциального уравнения:

y² + py¢ +qy = 0. (5)

Дифференциальному уравнению (5) ставится в соответствие характеристическое уравнение:

  где l - переменная.

Если характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем l1¹l2, то общее решение уравнения (4) имеет вид:

Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности), то общее решение уравнения (4) имеет вид:

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , где a = - p/2, b =  то общее решение уравнения (4) имеет вид: