Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Замена переменных в тройных интегралах

Пример Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Решение. Введем новые переменные Вычислим якобиан обратного преобразования: Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение: Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен Теперь легко вычислить объем тела:

Найти формулу для производной функции arctg.

  Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 

 Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

 

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

 Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных

Геометрические приложения двойных интегралов

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид

 у-у0=f¢(x0)(x-x0).

 

При этом f¢(x0)=tga, где a-угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение

 

Производная неявной функции

Пусть функция y=y(x), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением

 F(x,y)=0.

Тогда производную y¢(x) этой функции можно найти, продифференцировав это уравнение (при этом у считается функцией от х), и разрешая затем полученное уравнение относительно у¢.