Замена переменных в тройных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Замена переменных в двойных интегралах

Пример

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Решение. Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5
Для упрощения области R сделаем замену переменных. Образ S области R определяется следующим образом: Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v. Отсюда следует Находим якобиан данного преобразования. Соотношение между дифференциалами имеет вид Теперь легко найти искомый интеграл:

Вычислить приближенное значение определенного интеграла

  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

  По формуле Симпсона получим:

  m

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  x

  -2

  -1

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  f(x)

2.828

3.873

  4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 

  Точное значение этого интеграла – 91.173

  Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Геометрические приложения двойных интегралов

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид

 у-у0=f¢(x0)(x-x0).

 

При этом f¢(x0)=tga, где a-угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение

 

Производная неявной функции

Пусть функция y=y(x), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением

 F(x,y)=0.

Тогда производную y¢(x) этой функции можно найти, продифференцировав это уравнение (при этом у считается функцией от х), и разрешая затем полученное уравнение относительно у¢.