Замена переменных в двойных интегралах

Кратные интегралы примеры решения задач

Интегрирование по частям

Пример Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

Решение. Используя формулу интегрирования по частям , полагаем . Тогда Следовательно, Решим полученное уравнение относительно . Получаем

Найти предел .

 

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + g¢(x) = ex;

 

Пример

При интегрировании использовали формулы , при

Пример

При интегрировании использовали формулы: и


Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  где Р(х) и Q(x)-многочлены.

Рациональная дробь  называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду:

  где

многочлен (целая часть при делении), а правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому 

Так как интеграл  вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.