Расчет балок на жесткость Лабораторные работы по проверке теоретических положений сопротивления материалов

Задачи по сопративлению материалов

РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Плоская стержневая система. Статически определимые системы. Мгновенно изменяемая система. Принцип возможных перемещений. Случаи применимости к упругим системам. Общая формула для вычисления перемещений. Формула для перемещений в случае нагрева ненагруженной конструкции. Влияние на перемещение точек системы начальных отклонений от номинальных размеров. Смысл отрицательного перемещения. Различие в определении угла поворота и линейного перемещения.

Действие динамических нагрузок

Динамической считается такая нагрузка, положение, направление и интенсивность которой зависят от времени, так что необходимо учитывать силы инерции тела в результате ее действия. При этом конструкции или их элементы совершают движения, простейшим видом которых являются колебания. Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

Инерционные нагрузки

В случае, когда динамическое нагружение характеризуется наличием ускорений частиц тела, необходимо учитывать возникающие в них силы инерции, направленные в сторону, противоположную направлению ускорения. Такое нагружение испытывают твердые деформируемые тела, например, при неравномерном поступательном или при равномерном вращательном движении. Указанные силы инерции добавляют к внешним нагрузкам, к собственному весу тела, и далее расчет ведется как и для статического нагружения.

Если направление ускорения а движения тела совпадает с направлением ускорения g силы тяжести, то динамические усилия Fd , напряжения σd (или τd), перемещения Δd определяются через соответствующие статические величины Fst, σst (или τst), Δst и динамический коэффициент kd

 kd = 1 + (a/g) , (7.1.1)

т.е. имеют место соотношения

 Fd = Fst kd; σd = σst kd; τd = τst kd; Δd = Δst kd. (7.1.2)

Условие прочности в таком случае имеет вид

 σd, max = σst, max kd = σst, max (1 + (a/g))Radm . (7.1.3)

Задача 7.1.1. Проверить прочность стального каната, с помощью которого поднимается вверх кабина лифта с ускорением а = 5 м/сек2. Масса кабины mк = 500 кг, длина каната l = 50 м, диаметр d = 4 см. Характеристики материала каната: плотность ρ = 7,75 г/см3, допускаемое нормальное напряжение Radm = 30 МПа (рис. 7.1.1). Резьбовые и сварные соединения Инженерная графика строится на основе исходных понятий о методах конструирования промышленных изделий в соответствии с требованиями государственных стандартов единой системы конструкторской документации (ЕСКД). Условием изучения и усвоения стандартов в технических дисциплинах является не формальное заучивание, а понимание их геометрических оснований и правильного применения содержащихся в них правил, требований и рекомендаций. ГОСТ 23887-79 [6] четко дает понятия видов соединений составных частей изделий, их изображения и обозначения.

 Решение. Составив условие динамического равновесия в виде ΣFix = 0, определим наибольшее продольное усилие в канате:

где А – площадь поперечного сечения каната.

Максимальное динамическое напряжение будет равно

= 11,64 МПа.

Условие прочности (7.1.3) для каната выполняется.

Задача 7.1.2. Проверить прочность горизонтального бруса, поднимаемого вверх силой F, приложенной посередине бруса, с ускорением а, равным 2g (рис. 7.1.2, а). Брус квадратного поперечного сечения со стороной а1 = 5 см, длина бруса l = 2 м. Характеристики материала бруса: плотность ρ = 2,8 г/см3 , допускаемое нормальное напряжение Radm = 100 МПа.

Решение. Рассчитаем интенсивность равномерно распределенной статической нагрузки, вызванной силой веса

 Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки равна

= 206 Н/м.

 Определяем интенсивность суммарной распределенной нагрузки

  Величину сосредоточенной силы F определим из условия динамического равновесия бруса

 Эпюры интенсивностей нагрузок q, pi показаны на рис. 7.1.2, б, в, эпюры интенсивности суммарной нагрузки qΣ, поперечной силы Q и изгибающего момента М – на рис. 7.1.3.

 Максимальный момент будет

 Осевой момент сопротивления квадратного сечения равен

  Определяем максимальное динамическое напряжение

Условие прочности (7.1.3) для бруса выполняется.

 Задача 7.1.3. Тело, состоящее из двух стальных стержней I и II (рис. 7.1.4), движется вверх с ускорением а = 2g. Поперечное сечение стержня I – квадрат со стороной h = 10 см, поперечное сечение стержня II – круг диаметром d = 2,5 см. Длины l1 = 40 см, lII = 80 см. Плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3.

 Определить максимальные нормальные динамические напряжения в каждом стержне.

Ответ: σmax,I = 0,093 МПа;

 σmax,II =2,046 МПа.

  Задача 7.1.4. Стальной канат длиной l = 20 м с прикрепленным к нему грузом весом Р = 5 кН движется вверх с постоянным ускорением а = g (рис. 7.1.5). Рассчитать минимально допустимую (необходимую) площадь поперечного сечения каната, если плотность материала каната ρ = 7,75 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = 30 МПа.

Ответ: Anec = 3,72 см2.

Задача 7.1.5. Конструкция, состоящая из стержня длиной l = 2 м и площадью поперечного сечения А = 0,0005 м2, вместе с прикрепленными к нему двумя грузами Р1 = 2 кН и Р2 = 4 кН, расстояние между которыми 1 м, движется вверх с постоянным ускорением а = 2g (рис. 7.1.6). Определить динамическое удлинение стержня, если модуль упругости материала стержня Е = 0,7·105 МПа, а плотность ρ = 2,8 г/см3.

Ответ: Δld = 6,9 мм.

Задача 7.1.6. Определить наибольшие нормальные напряжения от изгиба двутавра № 30 длиной l = 10 м, поднимаемого с помощью канатов, прикрепленных в сечениях С и D, с ускорением а, равным 5 м/с2 (рис. 7.1.7). Стенка двутавра при подъеме расположена вертикально.

 Ответ: σ = 8,58 МПа.

 Задача 7.1.7. Стальной горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 0,6 м равномерно вращается с постоянной угловой скоростью n = 1000 об/мин вокруг вертикальной оси I – I (рис. 7.1.8, а).

Определить наибольшее нормальное растягивающее напряжение в стержне, если плотность его материала ρ = 7,75 г/см3.

Решение. Рассчитаем интенсивность сил инерции в стержне (т.е. силу инерции, отнесенную к единице длины), учитывая, что она равна массе участка единичной длины, умноженной на нормальное ускорение аn , т.е.

,

или, принимая во внимание, что

получаем  Эпюра pi показана на рис. 7.1.8, б.

Продольная растягивающая сила N в сечении, расположенном на расстоянии x от оси вращения, равна площади эпюры рi на участке от сечения до конца стержня, т.е. в рассматриваемой задаче – это площадь трапеции:

  Эпюра N показана на рис. 7.1.8, в. Наибольшее значение продольной силы будет

Определяем наибольшее растягивающее напряжение

  Задача 7.1.8. Дюралюминиевый горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 1 м вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Определить для этого стержня предельное число оборотов в минуту, если плотность материала ρ = 2,8 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = 100 МПа.

Ответ: nadm = 5100 об/мин.

Задача 7.1.9. Стержневая система, показанная на рис. 7.1.9, а, вращается с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси АВС. Построить эпюру изгибающих моментов Ми от действия инерционных сил и определить допустимое по прочности число оборотов в минуту, если плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = =160 МПа. Поперечные сечения стержней круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м.

Решение. Определяем интенсивность сил инерции рi в отдельных стержнях.

 Участок АВС. Силы инерции отдельных частиц стержня взаимно уравновешиваются и изгиба не вызывают; таким образом рiАВС = 0;

  Участок СD. Силы инерции направлены вдоль оси стержня. На расстоянии x от оси вращения интенсивность их будет равна

т.е. при x = 0 имеем  а при x = а получаем  Обозначим буквой q интенсивность сил инерции в точке х = а, т.е.

 Участок DЕ. Так как этот участок параллелен оси вращения, то интенсивность сил инерции на нем будет постоянна и равна

рiDE = q = const.

Эпюры инерционных сил, действующих на рассматриваемую систему, показаны на рис. 7.1.9, б.

Далее определяем изгибающие моменты и строим эпюру Ми. На участке DE эпюра Ми – парабола, на участке DC – прямая, параллельная стержню CD, на участке СB – наклонная прямая и на участке АВ также наклонная прямая (рис. 7.1.9, в).

У к а з а н и е. Равнодействующая распределенной вдоль стержня CD инерционной нагрузки pi равна площади эпюры pi, т.е. в данном случае площади треугольника (R = aq/2).

Из эпюры Ми видно, что максимальное значение изгибающего момента будет в сечении В

Запишем условие прочности в виде где осевой момент сопротивления круглого поперечного сечения подсчитываем по формуле Wz = 0,1d 3.

Таким образом, условие прочности имеет вид

 или

откуда находим допускаемую угловую скорость в рад/сек 


и допускаемое число оборотов в минуту

Задачи 7.1.10–7.1.12. Стержневые системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью Ώ, показаны на рис. 7.1.10–7.1.12. Построить эпюры изгибающих моментов Ми от действия инерционных сил и определить допускаемое число оборотов в минуту.

Плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3, поперечные сечения стержней – круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м, допускаемое нормальное напряжение Radm = 160 МПа.

Ответы: 7.1.10 – Mmax = 0,75ρАΩ2а3;

7.1.11 – Mmax = ρАΩ2а3; 7.1.12 – Mmax = 3ρАΩ2а3.

Упругий удар Под ударом понимают резкое изменение скорости соприкасающихся тел в течение малого отрезка времени. Приближенная («техническая») теория удара базируется на двух основных гипотезах: а) кинетическая энергия тела, производящего удар, полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому наносится удар (пренебрегают тепловой энергией и др.); б) распределение напряжений и деформаций по объему тела при ударе принимается таким же, как и при статическом нагружении (пренебрегают волновыми процессами и др.).

Задача. Груз весом Р = 200 Н падает с высоты Н = 0,3 м посередине на шарнирно опертую двухопорную деревянную балку квадратного поперечного сечения со стороной а = 15 см и длиной l = 3 м. Рассчитать запас прочности балки, если модуль продольной упругости материала балки Е = 104 МПа, а предел прочности при расчете на изгиб RИ = 20 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Упругие колебания систем с одной степенью свободы Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия. Колебания, вызванные некоторым начальным воздействием и совершаемые затем под действием собственных сил упругости, называют свободными или собственными. Колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил, называются вынужденными.

 Задача. На конце стальной консоли длиной 1 м, выполненной из двутавра № 8, находится двигатель весом Р = 1230 Н. Требуется определить частоты и периоды свободных колебаний системы – поперечных (изгибных) и продольных, пренебрегая собственным весом балки.

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы К вынужденным колебаниям приводит непрерывное воздействие на механическую систему внешней периодической силы, например, изменяющейся по гармоническому закону ,

Неупругое деформирование В предыдущих главах использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной точке не превосходило допускаемого напряжения (расчетного сопротивления).

  Задача. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис.1.3.3. Материал стержней АВ и СD имеет предел текучести σу = 285 МПа, балка АС – абсолютно жесткая. Площади поперечных сечений стержней АВ и СD одинаковы и равны А =

ВВЕДЕНИЕ В КУРС "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ" Основные понятия: прочность, жесткость, устойчивость. Определение бруса. Ось бруса. Виды брусьев. Типы связей и их условные обозначения. Реакции, создаваемые каждой из этих связей. Классификация нагрузок по способу их приложения к телу. Сосредоточенная сила. Возникновение нагрузки моментами. Примеры нагружения распределенными и сосредоточенными силами и моментами. Принцип Сен-Венана. Классификация нагрузок в зависимости от скорости нагружения. Характеристика отдельных видов деформации: растяжения (сжатия), изгиба, кручения, сдвига, сжатия. Внутренние силы и внутренние усилия. Метод сечения и цель его применения. Полное напряжение в данной точке сечения. Его связь с нормальными и с касательными напряжениями.
Действие динамических нагрузок