Построение эпюр нормальных сил и напряжений Дополнительные задачи на сдвиг

Задачи по сопративлению материалов

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ БРУСА КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ Нагрузки, при которых возникает деформация кручения. Внутренние усилия и перемещения при кручении. Гипотезы, упрощающие решение задачи о кручении круглого вала. Формула для определения касательных напряжений при кручении. Полярный момент инерции. Условие прочности при кручении. Полярный момент сопротивления. Сравнение законов распределения касательных напряжений в сечениях сплошного и полого валов.

 Задачи по сопративлению материалов

 В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем разделе собраны типичные задачи по различным видам простого и сложного сопротивления отдельного бруса.

 Изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления материалов. Расчетные формулы даны без выводов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.

 Задачам по каждой теме предшествует иллюстративное решение типовых задач с методическими указаниями. Все остальные задачи снабжены ответами.

 РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

 В этой главе, в основном, будет рассматриваться брус. Брус – это тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса – это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений.

 Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров – угловой деформацией. Удлинение – это увеличение линейных размеров тела, а укорочение – уменьшение линейных размеров тела.

 Пусть прямой брус длиной l заделан одним концом, а на другом конце приложена внешняя сосредоточенная сила F. Под действием этой силы брус удлинится на величину , которая называется полным (абсолютным) удлинением, тогда

  (1.1)

где – относительная продольная деформация.

 Перемещение точки – расстояние между первоначальным положением точки (до приложения внешних нагрузок) и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении, например, вдоль оси стержня.

 Центральное растяжение (сжатие) – это такой случай напряженного состояния, когда в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N.

 На основании гипотезы плоских сечений все продольные волокна стержня испытывают одинаковые удлинения или укорочения. Следовательно, при растяжении и сжатии нормальные напряжения  распределены равномерно по поперечному сечению стержня, поэтому

  (1.2)

где А –площадь поперечного сечения стержня.

 Зависимость между нормальным напряжением  и относительной деформацией  в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид (закон Гука):

  (1.3)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга).

 Пользуясь законом Гука (1.3), можно вычислить абсолютное удлинение   стержня при действии нормальной силы N (рис. 1.1, а):

  (1.4)

при учете только действия собственного веса стержня (рис. 1.1, б):

  (1.5)

где – объемный вес материала стержня.


Рис. 1.1

 Если по длине стержня l нормальная сила N(x) и площадь сечения A(x) переменны и изменяются по какому-либо непрерывному закону, то удлинение   определяется по формуле

  (1.6)

 Для стержня со ступенчатым изменением площади Ai (рис. 1.1, в) и нормальной силы Ni удлинения  вычисляются на каждом участке с постоянными Ni и Ai, а результаты алгебраически суммируются:

  (1.7)

где n – число участков; i – номер участка (i = 1; 2; 3; …; n).

 Существует экспериментально установленная зависимость:

 

где  – относительная поперечная деформация, – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). Коэффициент Пуассона  вместе с модулем продольной упругости Е характеризует упругие свойства материалов.

 Расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

  (1.8)

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.1.1) или другим нормам.

 Таблица 1.1

Элементы конструкции

 Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен

 Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий:

 а) сжатых при расчетах на устойчивость

 б) растянутых в сварных конструкциях

 Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность

 Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность

 Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой 

0,95

0,95

0,95

1,1

1,1

0,75

 Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

 принимать .

 Для хрупких материалов условия прочности принимают вид:

 при растяжении: , ;

 при сжатии: ,  (1.9)

где  и   – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).

 Для центрально сжатых бетонных элементов формула (1.9) записывается в виде:

  (1.10)

где  – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

 У к а з а н и я

 1. В том случае, когда направление нормальной силы заранее неизвестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия нормальная сила получится со знаком «плюс», то брус испытывает растяжение, со знаком «минус» – сжатие.

 2. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила F, направленная вдоль оси стержня, то значение нормальной силы на эпюре нормальных сил N в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы.

Построение эпюр нормальных сил и напряженийт для брусьев в статически определимых задачах Задача . Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис. 1.1.1. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

Задача. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, для которого a1 = 25 см, a2 = 15 см, a3 = 10 см, a4 = 20 см, А1 = А = 20 см2, А2 = =А3 = 4А. А4 = 2А. Стержень находится под действием сосредоточенных сил F1 = 327,2 Н; F2 = 1 кН; F3 = 500 Н и собственного веса с = 78,5 кН/м3, действующих вдоль оси стержня.

  Задача. Проверить прочность стального стержня. Материал – сталь с Ry = 2450 кг/см2 и объемным весом = 0,00785 кг/см3, F = 10 т, = 1.

Перемещения поперечных сечений брусьев в статически определимых задачах

Расчеты на растяжение и сжатие статически определимых стержневых систем Задача Абсолютно жесткий брус ВС (ЕВС = ) прикреплен в точке С к неподвижному шарниру, а в точке В поддерживается стальной тягой АВ. В точке В приложена вертикальная сила F = 20 кН.

Определение линейных и угловых перемещений в однопролетной балке СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ Для статически определимой балки (см. рисунок), загруженной сосредоточенными силами, линейной распределенной нагрузкой и изгибающими моментами, требуется: 1. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать балку двутаврового поперечного сечения по максимальному значению изгибающего момента при Ry = 240 МПа, с коэффициентом условия работы . 3. Определить прогибы и углы поворота на концах консолей и на опорах балки, используя дифференциальное уравнение упругой оси балки. 4. Определить прогибы и углы поворота на концах консолей и на опорах балки, используя интеграл Мора и правило Верещагина. 5. Показать схему изгиба балки.
Преимущество полых валов. Напряжения в продольных и поперечных сечениях вала. В каких сечениях действуют главные напряжения и чему они равны. Определение угла закручивания вела. Условие для расчета вала на жесткость. Особенности расчета ступенчатого вала по сравнению с гладким. Потенциальная энергия упругих сил, возникающих при кручении. Жесткость при кручении. В каком случае задача расчета вала становится статически неопределимой. Условия, используемые при решении статически неопределимых задач.
Задачи по сопративлению материалов