Сопромат расчеты на прочность

Инженерная графика
Выполнение расчетно-графической работы
Сопротивление материалов
Машиностроительное черчение
Выполнение сборочного чертежа
Сечения и разрезы
Начертательная геометрия
Инженерная графика
Правила классификации видов изделий
ДИЗАЙН
Чтение и деталирование сборочного чертежа
Электротехника
Лабораторная работа по электронике
Математика
Предел последовательности
Декартова система координат
Четность функций
Монотонность функций
Преобразование графиков функций
Квадратный трехчлен
Обратные тригонометрические функции
Графические методы решения задач
Система уравнений с двумя
переменными.
Параллельные прямые
Теорема синусов
Построения на изображениях
Конические сечения
Поверхности второго порядка
Матрицы
Ранг матрицы
Элементы векторной алгебры и
аналитической геометрии
Формулы Крамера
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Замена переменных в двойных интегралах
Замена переменных в тройных интегралах
Определенный интеграл
Площадь криволинейной трапеции
Замена переменной в определенном
интеграле
Определение двойного интеграла
Свойства двойного интеграла
Определение тройного интеграла
Производная сложной функции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Двойные интегралы в
произвольной области
Двойные интегралы в
прямоугольной области
Геометрические приложения
двойных интегралов
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Геометрические приложения
поверхностных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральный признак Коши
Интегрирование по частям
Кинематика движение тела
 

Пример Консольная балка изгибается распределенной нагрузкой

Дифференциальное уравнение изогнутой оси упругой балки При расчете балок на изгиб инженер интересуется не только напряжениями, возникающими от действия внешних сил, но и перемещениями от действия тех же сил. Одно из требований к элементам конструкций, чтобы перемещение не превосходило некоторого допустимого значения, обусловленного требованиями эксплуатации. Это условие называется условием жесткости либо конструктивной прочности.

Примеры прямого интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки  Однопролетная шарнирно опертая балка находится под действием равномерно распределенной нагрузки

Пределы применимости приближенной теории изгиба балок

 Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом начальных параметров А. Н. Крылова

Примеры решения задач по определению перемещений методом начальных параметров Пример Однопролетная балка находится под действием сосредоточенной силы Р

Расчет на прочность простейших статически неопределимых балок методом допускаемых нагрузок

Простейшие статически неопределимые задачи при изгибе. Метод сравнения (наложения) перемещений

Изгиб балок переменного поперечного сечения На практике часто приходится иметь дело со стержнями переменного поперечного сечения, у которых площадь F(z) и момент инерции  являются функциями z.

Балка равного сопротивления Пусть балка имеет прямоугольное переменное сечение, для которого высота сечения h - постоянная величина, а ширина изменяется по линейному закону

Балка на упругом основании Если балка лежит на упругом основании, то последнее оказывает на балку реактивное давление  (гипотеза Винклера), где k - коэффициент упругости основания (коэффициент постели).

Общие принципы и методы сопротивления материалов Обобщённые силы и перемещения

Формула Мора для перемещений в стержнях и стержневых системах

Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена нами в главах 2, 3, 5. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

Принцип возможного изменения сил и формула Кастилиано Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р

Примеры определения перемещений с помощью формулы Мора Пример. Пусть требуется в простейшей ферме определить вертикальное и горизонтальное перемещение узла А.

 Пример.  Пусть требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки А в кривом стержне (рис. 7.12,а) постоянного радиуса кривизны

Примеры вычисления перемещений способом Верещагина

Расчёт статически неопределимых систем методом сил Наиболее распространённым методом раскрытия статически неопределимых систем является метод сил. Он заключается в том, что система освобождается от лишних связей и их действие заменяется лишними неизвестными, которые принимаются за основные неизвестные задачи

Определение напряжений и перемещений в витых пружинах Одним из простых примеров применения теоремы Кастилиано к определению перемещений является расчёт винтовой пружины. 

Применение общих принципов и методов сопротивления материалов к расчёту стержневых систем. Стержневые системы и их классификация В сопротивлении материалов и в строительной механике при расчёте конструкций вместо них самих рассматриваются расчётные схемы или механические модели. В таких расчётных схемах стержни соединяются друг с другом связями в виде шарниров или жёстких узлов.

Статически определимые и неопределимые стержневые неизменяемые системы Кинематически неизменяемая стержневая система называется статически определимой если все внутренние силовые факторы можно найти из независимых уравнений статики. В противном случае система называется статически неопределимой. Степенью статической неопределённости называется разность n между числом неизвестных внутренних силовых факторов, опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

Примеры расчёта статически неопределимых стержневых систем по методу сил Пример.  Раскрыть статическую неопределимость балки методом сил и определить точки С приложения силы Р

Пример Рассмотрим дважды статически неопределимую балку. Раскроем её статическую неопределённость методом сил.

Устойчивость упругих систем Концепция устойчивости Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения.

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии

Метод перемещений При расчёте статически неопределимых систем методом сил сначала находятся лишние неизвестные, затем внутренние силовые факторы и перемещения.

Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений Пример. Рассмотрим трижды статически неопределимую систему

Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая поможет выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении.

Метод Кармана (начальных несовершенств). Т. Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершенствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не находила поддержки.

Практический инженерный метод расчёта на устойчивость Ф. Ясинского Рассмотрим две простейшие стержневые системы

Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня Познакомившись с концепцией устойчивости и модельными задачами, мы можем теперь перейти к рассмотрению задач устойчивости упруго сжатого стержня

Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями Л.Эйлер рассмотрел задачу с шарнирно опёртыми краями, т.е. с граничными условиями:

Пример. Стальной стержень длиной  двутаврового сечения №18, шарнирно закреплённый на одном и жёстко на другом краях, сжимается силами Р. Требуется определить допускаемое и критическое значения силы Р, если  

Задача Энгессера об устойчивости сжатого стержня из нелинейно - упругого материала В 1889 г. Ф. Энгессер (Германия) предложил расширить область применения формулы Эйлера путём введения вместо упругого модуля Е переменного касательного модуля ЕК

Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости. Формула Кармана Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам 

Продольно-поперечный изгиб упругого стержня Рассмотрим упругий стержень постоянного поперечного сечения, сжатый силами Р

Устойчивость стержня в процессе нагружения за пределом упругости. Концепция Шенли В 1946 году американский учёный Ф. Шенли пришёл к мысли о том, что теория приведённого модуля Кармана отвечает лишь частной теории стержня.

Устойчивость стержней как элементов конструкций. Концепция Ильюшина – Зубчанинова

Выпучивание сжатой колонны при внецентренном сжатии Пусть стержень-колонна сжимается внецентренно силой Р, жёстко закреплена внизу при z = 0 и свободна от закрепления вверху при  

Устойчивость стержня, сжатого следящей силой Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки. Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.

Задача А.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести Все материалы обладают тремя основными свойствами – упругости, пластичности и вязкости. При длительной эксплуатации конструкции, которая содержит сжатый силами Р стержень, может проявиться свойство вязкости материала в виде его ползучести либо релаксации напряжений. 

Энергетический метод определения критических нагрузок Энергетический метод представляет собой один из способов определения критических нагрузок. Пусть согласно методу проб Эйлера сжатый силами Р стержень не вернулся в исходное состояние равновесия

Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести Ползучесть некоторых полимерных материалов в установившейся стадии является нелинейной и описывается при вязкоупругих деформациях законом

Устойчивость плоской формы изгиба балок Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внешней нагрузки и выпучиться в сторону

Колебаниями упругих систем называют их повторяющиеся, периодические движения, которые они совершают около своего статического положения равновесия. Поведение конструкций и машин при их колебательных движениях требует особого внимания инженеров. Известны случаи, когда строительные сооружения или машины, рассчитанные с большим запасом на статическую прочность, разрушались под действием сравнительно небольших периодически действующих сил вследствие резонанса, либо, так называемой, колебательной неустойчивости.

Собственные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы

Пример 2. Определить частоту собственных крутильных колебаний вала длиной  с диском массы m на конце 

Колебания упругих систем при действии ударной нагрузки Ударными, или импульсивными, нагрузками будем называть такие, которые действуют в течение весьма короткого промежутка времени. Если он значительно меньше периода собственных колебаний упругой системы, то за время действия ударной нагрузки не произойдет заметных перемещений ее точек или масс, но они приобретут некоторые конечные скорости

Вынужденные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы. Резонанс.

Пример . Определить критическое число n оборотов мотора, вес которого

Пример 1. Определить низшую частоту собственных колебаний балки методом Релея, если вес единицы ее длины равен q

Понятие о приведенной массе Рассмотрим упругую систему, например балку с распределенной массой

Продольные колебания стержня Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень, в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу. 

Главные деформации в плоских задачах

Поперечные колебания стержня Рассмотрим поперечные колебания балки постоянного сечения с площадью F

Теория сложного напряжённо-деформированного состояния (НДС) твёрдого тела Напряжённое и деформированное состояние частицы тела.

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС) До сих пор мы рассматривли в основном простейшие виды НДС – растяжение – сжатие, плоский чистый сдвиг и их комбинацию

Общий случай НДС. Обобщённый закон Гука-Коши Рассмотрим далее общий случай объёмного напряжённо-деформированного состояния

Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке 

Определение удлинений и сдвигов для произвольно направленных волокон

Главные нормальные напряжения и направления в общем случае объёмного напряжённого состояния Плоские задачи являются частным случаем объёмного напряжённого состояния

Общее решение кубического уравнения для определения главных напряжений

Эллипсоид напряжений Ламе

Напряжения на октаэдрических площадках Рассмотрим площадки, равнонаклонённые к главным осям

Главные деформации и сдвиги Поставим вопрос об отыскании таких направлений в данной точке тела, в которых волокна испытывают экстремальные удлинения, а сдвиг отсутствует. Такие направления назовём главными направлениями деформации, а сами деформации – главными деформациями

Прочность и разрушение материалов и конструкций Постановка вопроса о прочности Основной областью применения сопротивления материалов и в целом механики деформируемого твердого тела является оценка прочности реальных материалов и элементов конструкций при их эксплуатации. Определение напряжений, деформаций и перемещений в телах еще не дает ответа на вопрос об их прочности 

Механизм хрупкого разрушения. Простейшая модель разрушения Гриффитса

Дифференциальные уравнения равновесия Коши Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы каждая его частица находилась в равновесии. Выделим из тела материальную частицу в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz

Уравнение совместности деформаций

Кручение стержня эллиптического сечения

Кручение стержня треугольного сечения

Хрупкое и пластическое разрушение В начале курса мы ввели понятия о двух простейших типах разрушения: 1) хрупком– путем отрыва от наибольших растягивающих нормальных напряжений ; 2) пластичном – путем сдвига от максимальных касательных напряжений .

Геометрические приложения двойных интегралов