Начертательная геометрия Аксонометрические проекции Расчет на прочность и жесткость при растяжении - сжатии
Графические методы решения задач blog from Chocolate Slim . go to the site real Goji berry

Урок основ математики школьнику и студенту

Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

(4.1)

или сокращенно в виде A = (a i j ) (i = ; j = ). Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a i j ) и B = (b i j ) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j. Найти решение уравнения при следующих условиях (Вторая краевая задача).

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a i i диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a i j ).

Суммой двух матриц А = (a i j ) и B = (b i j ) одного размера называется матрица C = (c i j ) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j + b i j.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a i j ) и B = (b j k ), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k ), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов

Пример . Найти произведение матриц

Пример . Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1, Т 2, Т 3, Т 4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Определители Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего Свойства определителей

Пример . Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. Пример . Вычислить определитель

Вычислительная математика разрабатывает методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры и геометрии. Численный метод решения задачи - это определённая последовательность операций над числами (вычислительный алгоритм). Языком численного метода являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на компьютере, что делает эти методы мощным и универсальным инструментом исследования
Поверхности второго порядка