Графические методы решения задач

Урок основ математики школьнику и студенту

Пропорциональные отрезки и средняя линия треугольника

Лемма 4.1. 

Пусть пара параллельных прямых AB и CD пересекают соответственно другую пару параллельных прямых AC и BD . Тогда отрезок AC равен отрезку BD , а отрезок AB равен отрезку CD .

Рисунок 4.6.1.

Доказательство

Проведем прямую BC . Угл Вычисление двойных и тройных интегралов

ы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC  =  BD и AB  =  CD . Лемма доказана.

Теорема 4.11. 

Теорема Фалеса . Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство

Рисунок 4.6.2.

Пусть – заданный угол, а Доказательство

Пусть [ DE ] – средняя линия в треугольнике ABC , т.е. AE  =  EC , CD  =  BD . Проведем через точку D прямую a , параллельную стороне AB . По теореме 4.11 прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE . Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB . Проведем среднюю линию DF . Она параллельна стороне AC . Тогда по лемме 4.1 отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB . Теорема доказана.

Рисунок 4.6.3.

Теорема 4.13. 

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство

Пусть стороны угла O пересекаются параллельными прямыми в точках B , D и A , C соответственно.

Теоремой утверждается, что

Разделим отрезок OD на n равных частей. Пусть δ 1 – длина отрезка деления. Тогда OD  =  n  · δ 1.

Возможны два случая.

Существует такое n , при котором C – точка деления. То есть существует m  <  n такое, что OC  =  m  δ 1. Проведем через точки деления отрезка OD прямые, параллельные прямой BD . По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB   на равные отрезки некоторой длины .

Ни при каком n C не является точкой деления. Допустим, или без ограничения общности

Решение алгебраических уравнений.

 

Найти точное решение уравнение  не всегда просто, поэтому рассмотрим его приближённое решение методом Ньютона. Для начала вычислений требуется начальное приближённое значение корня .

 Построим алгоритм уточнения корня. Пусть имеется приближение . Необходимо получить формулу вычисления следующего приближения . Левую часть уравнения  разложим в ряд Тейлора в окрестности точки :  При вычислении приближения  будем вместо уравнения   использовать уравнение , в котором взяты только два первых члена разложения . Так как , то получим уравнение , из которого находим

 .

Этот алгоритм называется методом Ньютона решения алгебраических уравнений. Имеются и другие алгоритмы, однако метод Ньютона используется чаще всего.


Поверхности второго порядка