Построить чертеж профиля стали тавровой Построение графика http://fislub.ru/
Математика Предел последовательности

Урок основ математики школьнику и студенту

Декартова система координат

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат . В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной ). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной ( декартовой ) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

График 1.2.1.1.

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x , y , z и называются, соответственно, абсциссой , ординатой и аппликатой . Координатная ось OX называется осью абсцисс , ось OY – осью ординат , ось OZ – осью аппликат . Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

График 1.2.1.2.

Интерполирование функций.

 

 

  Конечные разности записывают в таблицу. Таблица при  имеет вид:

 Конечные разности вычисляют и записывают, начиная с низа соответствующего столбца. Верхняя (подчёркнутая) строка таблицы конечных разностей используется при составлении формулы многочлена .

 Обозначим , тогда интерполяционная формула (формула Ньютона) записывается в форме:

 .

 Степень  следует выбирать так, чтобы разности в столбце   были практически постоянными.

 При замене функции  многочленом  возникает погрешность аппроксимации .

 При получим частный случай – линейную интерполяцию

  ,

 а при  – квадратичную интерполяцию

 .

 Пример. Функция  задана таблицей:

 Найти .

 Решение. Функцию  аппроксимируем многочленом  

и положим . Для построения  вначале определим степень , для этого составим таблицу конечных разностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В столбце  разности практически постоянны, поэтому можно взять , т. е. использовать линейную интерполяцию .

  В этой формуле , , , поэтому , тогда

 .

Оценим погрешность результата по формуле .

 Таким образом, погрешность может повлиять только на шестой десятичный знак.

В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат. Координаты точки в декартовой системе координат.

Полярная и сферическая системы координат Полярные координаты легко преобразовать в декартовы

Понятие числовой функции Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой. Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y .

Пример. Найти положительный корень уравнения , т.е. извлечь квадратный корень из . Можно написать ответ , но символ  не решает задачи, так как не даёт способа вычисления величины .

   Поступим следующим образом. Возьмём какое – либо начальное приближение  (например, ) и будем последовательно вычислять значения , , , . . .  с помощью формулы  

                                  ,

 получим:

    Начиная с , шесть цифр в дробной части не меняются, поэтому  с точностью .


Преобразование графиков функций