Математика Предел последовательности

Урок основ математики школьнику и студенту

Синус и косинус

Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора):

sin 2   x  + cos 2   x  = 1

Некоторые тригонометрические формулы приведены в таблице.

График функции y = sin  x называется синусоидой , а функции y =  cos  x косинусоидой . В обоих случаях достаточно построить графики на отрезке [0; 2π] или [–π; π], а затем периодически продолжать их на всю ось. Более того, достаточно построить график y  = sin  x на отрезке отразить симметрично относительно оси а затем отразить получившийся график относительно точки (π; 0). График y  = cos  x после построения на отрезке нужно отразить относительно точки а затем получившийся график – относительно оси x  = π. Заметим также, что косинусоида получается из синусоиды сдвигом на π/2 влево, поэтому, как правило, используется только термин «синусоида».

Модель 2.10. Математический маятник.

Синус и косинус применяются во многих областях физики и математики. Например, с их помощью удобно описывать гармонические колебания, задаваемые формулами y  =  A  cos (ω x  + φ) или y  =  A  sin (ω x  + φ). Здесь A – амплитуда, ω – частота, φ – начальная фаза колебаний. Для построения графика гармонического колебания необходимо последовательно выполнить следующие операции над синусоидой:

Если мы имеем дело с явлением, в котором одновременно происходят несколько различных колебательных процессов с соизмеримыми периодами, то зависимость колеблющейся величины от времени остается периодической, но график этой зависимости в общем случае уже не является синусоидой. Любую из функций, описывающих эту зависимость, можно представить в виде суммы постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами, кратными

Модель 2.11. Колебания в электрической цепи.

 

 

 

 

 

 

Погрешности результатов численного решения задач.

 Вычисления всегда выполняются с округлёнными числами и по формулам, приближённо заменяющим исходную задачу, поэтому и ответ будет приближённым числом. Задача заключается в том, чтобы следовать правилам, обеспечивающим минимальную погрешность результата.

 Принцип минимальности разности между числом  и его округлённым значением  приводит к следующему правилу округления:

 если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется;

 если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1;

 если старший отбрасываемый разряд равен 5, то предшествующая ему чётная цифра в числе не меняется, а нечётная увеличивается на 1.

 Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащие цифры подразделяют на верные и сомнительные, исходя из понятия абсолютной и относительной погрешности числа.


Преобразование графиков функций