http://rugrafi.ru/ Примеры решения задач контрольной работы Механический и геометрический смысл производной
Страстные тигрицы из Мариуполя попросят вас стать своим повелителем Математика Предел последовательности

Урок основ математики школьнику и студенту

Квадратичная функция

Квадратный трехчлен

Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа.

Примерами квадратичных функций являются y  =  x 2  + 3 x  – 2, y  = – x 2  + 4 x , y  = 2 x 2  + 5.

Выражение ax 2  +  bx  +  c ,  a  ≠ 0 называют квадратным трехчленом .

Пусть имеется квадратный трехчлен y  =  ax 2  +  bx  +  c . При решении многих задач полезным приемом является выделение полного квадрата, то  есть выделение квадрата линейной функции:

Так, x 2  + 2 x  – 2 = ( x  + 1) 2  – 3, 3 x 2  – 12 x  = 3 ( x  – 2) 2  – 12.

Число D  =  b 2  – 4 ac называется дискриминантом квадратного трехчлена .

Дискриминант трехчлена x 2  + 3 x  – 2 равен 3 2  – 4 · 1(–2) = 17, трехчлена – x 2  + 4 x равен 16, трехчлена 2 x 2  + 5 равен –40.

Численное решение дифференциальных уравнений.

 Классы дифференциальных уравнений, для которых разработаны методы получения точных решений, охватывают только малую часть возникающих на практике задач. Численные же методы применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них.

 Рассмотрим простейший численный метод – метод ломаных (метод Эйлера).

 Пусть требуется решить задачу Коши: . На промежутке  введём сетку . В методе Эйлера приближённые значения  искомой функции  вычисляются последовательно по формуле , где . Геометрический смысл метода Эйлера состоит в том, что искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломаной с вершинами в точках .

 Для оценки погрешности приближённых значений  пользуются двойным пересчётом: расчёт на промежутке  повторяют с шагом  и погрешность более точного решения  (при шаге ) оценивают по формуле .

 

 Пример. Найти на промежутке  решение дифференциального уравнения   с начальным условием , выбрав шаг Страстные тигрицы из Мариуполя попросят вас стать своим повелителем

  Решение. , . . Вычисляем: 

;

 ;

 ; ;

 ;

 ; ;

Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа. Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением . График функции при a  ≠ 0 называется параболой . Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение получим x  = 0. Итак, единственный нуль этой функции x  = 0. Функция является четной (для любых ось OY является ее осью симметрии.

Тригонометрическими называются функции вида y  = sin  x , y  = cos  x , y  = tg  x , y  = ctg  x и их комбинации.

Синус и косинус Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O , осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A  (0), и осью ординат, проходящей через точку За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M  ( x ) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x : M  ( x ) =  M  (cos  x ; sin  x ). Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора): sin 2   x  + cos 2   x  = 1

Тангенсом угла x называется отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла:

Погрешности результатов численного решения задач.

 Вычисления всегда выполняются с округлёнными числами и по формулам, приближённо заменяющим исходную задачу, поэтому и ответ будет приближённым числом. Задача заключается в том, чтобы следовать правилам, обеспечивающим минимальную погрешность результата.

 Принцип минимальности разности между числом  и его округлённым значением  приводит к следующему правилу округления:

 если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется;

 если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая ему цифра в числе увеличивается на 1;

 если старший отбрасываемый разряд равен 5, то предшествующая ему чётная цифра в числе не меняется, а нечётная увеличивается на 1.

 Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащие цифры подразделяют на верные и сомнительные, исходя из понятия абсолютной и относительной погрешности числа.


Преобразование графиков функций