Вынужденные колебания и резонанс http://fizhel.ru/ Визуализация трехмерных изображений http://istdiz.ru/
Математика Предел последовательности

Урок основ математики школьнику и студенту

Преобразование графиков функций

Параллельный перенос Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Зададимся целью построить график функции y  =  f 1  ( x ), где f 1  ( x ) =  f  ( x ) +  B . Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A  ( x 0 ;  y 0 ) – точка на графике функции y  =  f  ( x ). Соответствующая ей точка A ′ ( x 0 ;  y 1 ) с той же абсциссой имеет координаты A ′ ( x 0 ;  y 0  +  B ). Точка A ′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B  > 0, и на | B | вниз, если B  < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y  =  f  ( x ) +  B получается из графика функции y  =  f  ( x ) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B  > 0, и на | B | вниз, если B  < 0.

Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x ′ и y ′ – соответствующей ей точки нового.

Аналогичным образом можно построить график функции y  =  f  ( x  –  b ). Точка A ′ ( x ′;  y ′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A  ( x ;  y ), если x ′ =  x  +  b . Таким образом, чтобы построить точку A ′, нужно сместить точку A вправо, если b  > 0, и влево, если b  < 0.

Модель 1.13. Параллельный перенос графиков.

График функции y  =  f  ( x  –  b ) получается из графика функции y  =  f  ( x ) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b  > 0, и на | b | влево, если b  < 0.

Алгебраически это записывается системой:

Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.

В общем случае график функции y  =  f  ( x  –  b ) +  B получается из графика функции y  =  f  ( x ) параллельным переносом, при котором начало координат O  (0, 0) переходит в точку O ′ ( b ,  B ). Обычно находят точку O ′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y  =  f  ( x ).

Сжатие (растяжение) графика к оси OX задается с помощью системы уравнений

Отражение относительно осей и точек Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX , нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y  =  x  + sin  x и y  =  x  sin  x , являющихся соответственно суммой и произведением графиков y  =  x и y  = sin  x .

Прямая пропорциональность Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6 часов движения.

Функция y  =  kx  +  b называется линейной функцией . Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y  =  kx на b вверх, если b  > 0, и на | b | вниз, если b  < 0. Кроме того, если k  ≠ 0, то Значит, график функции y  =  kx  +  b получится из графика y  =  kx сдвигом на Уравнение прямой

Пример. Длина и ширина комнаты, измеренные с точностью до , равны  и .

 Определить погрешность величины площади комнаты  и записать площадь с верными и одной сомнительной цифрами.

 Решение. По условию  и . Максимальная и минимальная возможные значения площади равны

 .

Вычисляем , следовательно, можно взять . Таким образом, величина площади имеет три верных цифры и сохраняя одну сомнительную, получим .

 Во многих приложениях принято характеризовать точность приближённых чисел их относительной погрешностью. Обозначим относительную погрешность приближённого числа  символом , тогда по определению . Относительная погрешность обычно выражается в процентах и её принято записывать не более чем с двумя – тремя значащими цифрами. Относительная погрешность – это безразмерная и нормированная величина, поэтому её удобно использовать для сравнения точности различных приближённых величин.


Преобразование графиков функций